切比雪夫距离

目录

概念

在数学中,切比雪夫距离(Chebyshev distance)或是L∞度量,是向量空间中的一种度量,二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以数学的观点来看,切比雪夫距离是由一致范数(uniform norm)(或称为上确界范数)所衍生的度量,也是超凸度量(injective metric space)的一种。

理解

两点的切比雪夫距离其实就相当于国际象棋中国王(只能横、竖、斜走一格)从一个点走到另一个点所需的步数。

如图所示:


(相关资料图)

计算公式

二维平面上的切比雪夫距离就是国王移动问题,比如“国王”从 \((f , 3)\) 移动到 \((c , 5)\) 需要3步,那么这两个点的切比雪夫距离就是3

设这两个点分别是 \((x_1 , y_1) , (x_2 , y_2)\)

那就先要斜着走

\[min(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert)\]

再横着走或竖着走

\[max(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert) - min(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert)\]

所以两个点的切比雪夫距离就是

\[max(\lvert x_1 - x_2 \rvert , \lvert y_1 - y_2 \rvert)\]

推广

n为空间上的切比雪夫距离

设两个点:\(A(x_{11} , x_{12} , \cdots , x_{1n}) , B(x_{21} , x_{22} , \cdots , x_{2n})\)

则这两个点的切比雪夫距离为:

\[d_AB = MAX_{i = 1}^n \lvert x_{1i} - x_{2n} \rvert\]

推荐内容